Les logiciens du Moyen-âge ont longtemps étudié les syllogismes
d’Aristote, et leur travail a notamment porté sur le fait
d’extraire tous les syllogismes valides parmi les 256 possibilités.
Néanmoins, les logiciens contemporains qui ont repris ces études à
leur compte ont été nettement plus réservés sur ces syllogismes
valides distinguant les pleinement valides (BARBARA par exemple) des
quasi-valides (BARBARI notamment). Ainsi :
« Tous les philosophes sont des hommes.
Tous les hommes sont mortels.
Donc certains philosophes sont mortels. »
Cette conclusion sous forme d’affirmation particulière (I) est
apparue aux yeux de Thomas d’Aquin et de ses contemporains
scolastiques comme parfaitement valide, même si elle est nettement
moins forte dans sa portée que celle du syllogisme de type
« Barbara » que l’on pourrait attendre en droit des
deux prémisses universelles : « Tous les philosophes sont
mortels ». Pour les logiciens contemporains, sa validité est
nettement plus problématique, et cela se manifeste clairement quand
on traduit ce syllogisme de type « Barbari » en langage
formel :
« Vx
(p(x) => q(x))
Vx (q(x) => s(x))
Σx (p(x) Λ (s(x)) »
La conclusion se dit : « Il existe au moins un x qui soit
à la fois philosophe (p(x)) et mortel (s(x)) », ce qui suppose
qu’il existe effectivement au moins un élément « x ».
L’affirmation universelle qui conclut le syllogisme « Barbara »,
par contre, se dit : « Pour tout x, si x est philosophe,
alors x est mortel ». Ce principe n’implique pas l’existence
des x, Barbara est donc valide, même si aucun philosophe n’existe
dans l’univers. Par contre, Barbari doit être soumis à une
condition d’existence, ce qui fait qu’il n’est que
quasi-valide.
Si des logiciens indiens tels que Dignâga et
Dharmakirti s’étaient penchés sur ces syllogismes
aristotéliciens, ils auraient eux aussi vraisemblablement conclu à
leur quasi-validité aussi, mais pour de tout autres raisons que nos
logiciens contemporains. Si je dis « certains philosophes sont
mortels », cela peut sous-entendre deux choses : la
première est que je suis peut-être un peu timoré et que je n’ose
pas trop me lancer à l’eau ; j’ai vu que Socrate était un
philosophe et un homme et qu’il était mort d’avoir bu la ciguë ;
j’ai vu que Platon, Aristote, Epicure, Marc-Aurèle, Montaigne,
Spinoza et Kant avaient eux aussi quitté ce bas monde ; mais je
n’ose pas trop me risquer des déclarations péremptoires et je me
contente dès lors par prudence d’une affirmation moins
forte : « certains philosophes… » et je ne
sous-entends rien d’autre. C’est le premier cas où l’affirmation
« certains p sont s » ne signifie rien d’autre que
« certains p sont s », et dans ce cas, le syllogisme
Barbari est parfaitement valide.
D’un autre côté, cette affirmation particulière peut
implicitement impliquer la négation particulière correspondante. Si
je parle d’une équipe de football qui évolue lamentablement au
bas du classement et que je dis : « Pourtant, certains joueurs
de l’équipe sont de bons joueurs », je sous-entends
clairement que, si certains sont de bons joueurs dans l’équipe,
d’autres ne le sont pas, sinon l’équipe ne serait pas lanterne
rouge du championnat... Dans ce deuxième cas de figure, la
conclusion de notre présent syllogisme Barbari, « certains
philosophes sont mortels » pourrait aussi être aussi comprise
comme : « Certains philosophes ne sont pas mortels ».
Je pourrais me mettre à subodorer alors que l’un ou l’autre
philosophe ait trouvé la formule de l’élixir de jouvence ou que
les dieux lui aient conféré quelque attribut divin d’immortalité
pour le récompenser de tel ou tel ouvrage particulièrement
lumineux… Mais cette supposition (en-dehors du fait qu’elle est
empiriquement invraisemblable) impliquerait nécessairement une faute
logique flagrante : des deux premières prémisses affirmatives
universelles, je ne peux évidemment pas déduire un quelconque cas
qui viendrait nier la mortalité des philosophes. Cela reviendrait à
transformer Barbari de manière fausse et indue comme suit :
« Tous les philosophes sont des hommes.
Tous les hommes sont mortels.
Donc certains philosophes sont mortels et certains ne le sont pas. »
Si, dans « Barbari »,
l’affirmation particulière « certains p sont s » peut
aussi impliquer l’idée que « certains p ne sont pas s »,
alors « Barbari » cesse d’être un syllogisme valide.
C’est pourquoi il faut d’abord s’assurer dans la compréhension
du sens de la phrase et dans son contexte qu’une négation ne se
cache pas implicitement dans l’affirmation particulière avant de
pouvoir conclure à la validité du raisonnement, là où dans
« Barbara », la question ne se pose pas : « tous
les p sont s » empêche par le principe de non-contradiction la
négation particulière «certains p ne sont pas s ».
Dans la logique indienne autant hindouiste
(notamment du courant nyâya, célèbre pour ses travaux de logique)
que bouddhiste, on parle de négation affirmative et négation
non-affirmative. Qu’est-ce à dire ? Une négation
affirmative est une négation
impliquant l’existence d’un autre phénomène positif. Par
exemple, l’assertion : « Le gros Carlos ne mange jamais
pendant la journée1 ».
S’il est gros, c’est qu’il doit beaucoup manger, et s’il ne
mange pas le jour, c’est qu’il mange la nuit2 !
La négation
non-affirmative par contre nie sans
suggérer d’autres phénomènes positifs. « Les brahmanes ne
boivent jamais d’alcool ». Cette phrase nous apprend que les
brahmanes s’abstiennent de boire de l’alcool, mais elle ne nous
renseigne pas du tout sur ce que boivent les brahmanes
habituellement : de l’eau, du jus d’orange, du lait ou du
thé, on n’en sait rien… Rien n’empêche dès lors de parler
aussi de manière symétrique d’affirmation négative et
d’affirmation non-négative. Pour que Barbari soit effectivement
valide, il faut que la conclusion soit une affirmation particulière
non-négative.
De la comparaison des deux logiques, indiennes et
occidentales, il m’est apparu cette distinction importante :
la logique indienne fait toujours référence implicitement au sens
des assertions qui la composent ainsi qu’au contexte dans lequel
elles sont énoncées. La phrase « le gros Carlos ne mange pas
durant la journée » n’implique pas en elle-même que Carlos
mange la nuit : il faut recourir à son bon sens et à son
expérience de sa vie pour savoir empiriquement qu’il doit
forcément manger la nuit. La logique occidentale adhère en fait au
modèle pythagoricien, platonicien et en fin de compte euclidien de
la démonstration mathématique. Elle est la pure science du
raisonnement et s’interroge sur la façon dont les prémisses
transmettent la valeur de la vérité à la conclusion sans présumer
du bien-fondé des prémisses par rapport à la situation empirique.
« Tous les philosophes sont des licornes. Toutes les licornes
sont immortelles. Donc tous les philosophes sont immortels »
est un raisonnement tout à fait valide, même si les prémisses ne
correspondent à aucune réalité. Bien sûr, les logiciens
occidentaux ne passent pas tout leur temps à rendre compte d’un
monde absurde sans rapport avec le réel, mais leur démarche
consiste à démontrer à partir d’axiomes les plus simples
possibles les principes les plus complexes, tout comme en géométrie,
Euclide partant de cinq axiomes seulement tente de démontrer tous
les principes de la géométrie. Cette méthode démonstrative a
considérablement marqué l’Occident avec Galilée, Newton, Spinoza
qui voulait démontrer son Éthique
à la manière des géomètres, « more
geometrico », ou Emmanuel Kant
qui fondait sa distinction entre propositions analytiques (qui sont
des propositions dont la vérité ou la fausseté ne dépend que du
sens des mots qu’elles contiennent) et propositions synthétiques
(qui elles sont vraies par rapport à des référents dans le monde),
et qui considérait les principes de la géométrie comme des
propositions synthétiques a priori.
« Que la ligne droite soit entre
deux points la plus courte, c’est une proposition synthétique. Car
mon concept de droit ne contient rien qui se rapporte à la quantité,
mais seulement à la qualité. Le concept de plus court vient donc
entièrement s’ajouter, et ne peut donc être tiré par aucune
analyse du concept de la ligne droite. Il faut donc s’aider de
l’intuition, au moyen de laquelle seulement la synthèse est
possible3. »
Et certains n’ont pas accepté ces cinq axiomes comme Riemann et
Lobatchevski : ils ont essayé de démontrer le cinquième
axiome d’Euclide par l’absurde à partir des quatre premiers
axiomes en postulant qu’à partir d’un point, on peut faire
passer une infinité de droites parallèles à cette droite ou
aucune. Or ces mathématiciens ne sont parvenus à aucune
contradiction en posant cette prémisse. C’est pourquoi ils ont
fondé la géométrie non-euclidienne, mais toujours est-il que cette
nouvelle géométrie respecte en tout point la méthode euclidienne
de déduction des principes à partir d’axiomes ou de théorèmes
par une démonstration qui se doit d’être un tout point logique et
cohérente. Cette méthode démonstrative est donc essentielle dans
l’histoire des mathématiques et de la logique en Occident.
Le théorème de Pythagore est le prototype de
cette propriété mathématique qu’il a fallut démontrer
rigoureusement. Or à l’époque de Pythagore, il se trouve que les
Indiens et les Chinois connaissaient, eux aussi, cette intéressante
qualité que les hypoténuses ont de voir leur carré égal à la
somme des carrés des côtés. Par exemple, on retrouve le théorème
utilisé dans des traités rituels brahmaniques pour l’édification
d’autels dont la taille était déterminée à l’avance selon des
critères sacrés très stricts sous la forme de carré qui ne
pouvait changer de forme, selon un nombre déterminé de briques et
dont l’aire devait être égale à la somme de autres carrés4.
Or le principe que Pythagore a démontré existe bien en Inde et en
Chine, la démonstration manque à l’appel. Ainsi, l’enseignement
traditionnel des mathématiques en Chine a nettement mis l’accent
sur des méthodes de résolution algorithmique plutôt que sur la
démonstration en cascade d’axiomes et de théorèmes. Comme
l’explique Alexei Volkov dans un article sur l’histoire de
l’apprentissage des mathématiques en Chine et au Vietnam :
« Ainsi la tradition mathématique
chinoise fut probablement une tradition de raisonnement, et non de
mémorisation. En outre, le raisonnement mis en œuvre ne portait pas
les traces de la logique caractéristique de l’œuvre d’Euclide.
Chez Euclide, les raisonnements étaient destinés à prouver la
véracité de propositions ; en Chine et au Vietnam
traditionnels en revanche, l’étudiant "idéal" devait
proposer un algorithme pour résoudre un problème concret, et
montrer la justesse de celui-ci5. »
La conséquence en Inde est que les mathématiques
se sont toujours appliquées au domaine sensible, notamment à
l’astronomie qui était le principal domaine d’application des
mathématiques, notamment les travaux d’Aryabhata (476-550) et
Brahmagupta (598-670). Nous leur devons beaucoup, puisque ce que nous
appelons « nombres arabes », les arabes, eux, appellent
cela « nombres indiens », tout simplement parce que
ceux-ci sont originaires de l’Inde. Nous devons ainsi aux Indiens
la notation décimale ainsi que le zéro en tant absence de quelque
chose, quantité nulle et marqueur de position6.
Notons que zéro en sanskrit se dit « shunya »
qui signifie vide et qui est un concept central dans la philosophie
bouddhique7.
Les mathématiques indiennes n’avaient donc pas le caractère
intelligible des Idées mathématiques, telles que Platon a pu les
développer dans la République,
même si elles avaient toutes sortes de résonance mystique, sacrée,
magique, sacrée, poétique et surtout philosophique. Les nombres et
les lois de la géométrie n’étaient pas coupés du monde
sensible. Pareillement la logique indienne, et, en son sein, la
logique bouddhiste ont clairement pour objet le monde sensible ;
la logique n’est pas conçue seulement comme un organon,
un outil du raisonnement, la question est de savoir à quel un
concept peut s’appliquer à un objet réel. Qu’est-ce qui est
réel dans la perception ? Et qu’est-ce qui ne l’est pas ?
Quels sont les moyens de connaissance valide du réel ? C’est
ce genre de questions que traitent des logiciens comme Dignâga et
Dharmakirti.
Ces deux-là auraient certainement été
considérés comme de dangereux hérétiques aux yeux d’Emmanuel
Kant ! Ce dernier définit la logique comme « une
science qui expose en détail et démontre rigoureusement les règles
formelles de toute pensée8 ».
Il explique aussi le succès de la logique dans la pensée
occidentale ainsi : « Si la
logique a été si heureuse, elle ne doit cet avantage qu’à la
délimitation qui l’autorise et même l’oblige à faire
abstraction de tous les objets de la connaissance et de leur
différence, si bien qu’en elle l’entendement n’a affaire à
rien d’autre qu’à lui-même et à sa forme9 ».
Mais ce n’est qu’une hérésie que si on oublie que les
propositions en logique indienne ne sont pas des propositions pures
de tout contexte, de toute référence, de tout sous-entendu ou
d’implication dans un sens ou dans un autre. Quand je dis :
« le gros Carlos ne mange jamais pendant la journée »,
implicitement j’émets l’information qu’il mange la nuit,
puisque pour être gros, il faut manger beaucoup. Une proposition
dans la logique indienne n’est pas un axiome qui ne contiendrait
que les informations contenues dans sa définition, et quoi va
permettre de construire toutes sortes de théorèmes et de lemmes à
sa suite quand on le met en rapport avec d’autres axiomes. Il
s’ensuit donc que l’idée des logiciens contemporains de vouloir
fonder un langage formel plus cohérent et plus précis pour pallier
aux ambiguïtés et aux imprécisions des langues naturelles n’a
peut-être de fondement en logique indienne, parce qu’il va de soi
que chaque proposition est bourrée de sens sous-jacents qu’il
convient de prendre en compte pour ne pas arriver à des absurdités
flagrantes. Le langage naturel serait donc plus riche justement parce
qu’il recèle une puissance d’évocation et de subtilité dont
est dépourvu le langage mathématique. Si je dis : « j’aime
Monica », cela peut vouloir toutes sortes de choses ! Cela
peut être une déclaration d’amour comme une simple manifestation
d’estime. Pour un ordinateur, c’est juste l’association d’un
sujet/un verbe/un prédicat, mais pour un humain, cela implique
beaucoup de significations ! Cela ne veut évidemment pas dire
que tout est permis en logique indienne, mais qu’il faut prendre en
considération une certaine qualité de bon sens et de discernement.
Pour employer le langage de Pascal, la logique indienne intègre
l’esprit de finesse à l’esprit de géométrie. La logique
indienne est plus souple, mais reste exigeante dans sa démarche.
Liège, février 2005.
1
Pour la petite histoire, l’exemple traditionnel parle du gros
Devadatta qui ne mange jamais pendant la journée. Devadatta était
en fait le disciple félon du Bouddha ; il prônait une ascèse
plus rigoureuse et plus stricte que celle encouragée par le
Bouddha, pourtant, il était lui-même très gros, ce qui lui a valu
une réputation d’hypocrisie…
2
NAGARJUNA, « Traité
du Milieu (avec un commentaire d’après Tsongkhapa Losang Drakpa
et Choné Drakpa Chédrub) »,
traduit du tibétain par Georges Driessens, Points-Sagesse, Seuil,
Paris, 1995, p. 30. Cette explication du négatif affirmatif ou
non-affirmatif est de la plume de Tsongkhapa, grand penseur
tibétain, et lama fondateur de la dernière chronologiquement
parlant des quatre grandes écoles du bouddhisme tibétain, l’école
Guéloug (à laquelle appartient le dalaï-lama). En un mot,
Tsongkhapa utilise l’argument du négatif non-affirmatif pour
appuyer ses propres thèses philosophiques sur l’école du Milieu
fondée en Inde au IIIe siècle par Nagarjuna : la vacuité
d’existence propre n’implique rien d’autre que cette vacuité
elle-même, cette absence d’existence ultime des phénomènes.
Pour Dolpopa Sherab Gyaltsen (fondateur de l’école Jonang
aujourd’hui disparue) par contre, la vacuité est une négation
affirmative, parce que si elle nie effectivement l’existence
ultime des phénomènes, la vacuité implique l’existence
sous-jacente de la claire lumière, la nature primordiale de
l’esprit non-dualiste. Sur ces débats et controverses, voir entre
autre la postface de Philippe Cornu dans : NEWLAND Guy,
« Apparence et réalité »,
Kunchab, Belgique, 2000, pp. 112-125. STEARNS Cyrus, « Le
Bouddha du Dolpo », Ed. Claire
Lumière, Saint-Cannat (France), 2005, pp. 75-162. Sur le négatif
affirmatif et le négatif non-affirmatif (dans d’autres débats
philosophiques), voir aussi : DREYFUS Georges, « Les
deux vérités selon les quatre écoles »,
Ed. Vajra Yogini, Marzens (France), 2000, pp. 63-70.
3
Emmanuel KANT, « Critique
de la Raison Pure », (Edition
publiée sous la direction de Ferdinand Alquié, traduction
d’Alexandre Delamarre et de François Marty), Gallimard, Paris,
1980, p. 76, [B 16].
4
Georges IFRAH, « Histoire universelle des
chiffres », tome II (Dictionnaire des symboles numériques
indiens, p. 89), Robert Laffont, Paris, 1994.
Richard
MANKIEWICZ, « L’histoire des
mathématiques », Le Seuil,
Paris, 2001, pp. 39-44.
5
Alexeï VOLKOV, « Mémorisation
ou raisonnement ? »,
article publié dans : « Pour
la science (Les génies de la science) »,
Paris, novembre 2005 – février 2006, pp. 24-27. L’une des
motivations de l’article, outre l’intérêt pour l’histoire
des mathématiques en-dehors de notre culture, est de comprendre
pourquoi aux olympiades mathématiques internationales, la Chine
arrivait souvent première, alors que la France si fière de sa
tradition mathématique depuis la Révolution française n’arrivait
qu’aux alentours des trentièmes positions…
6
Georges IFRAH, op. cit., tome 1, p. 793 & tome 2, pp. 158-160 et
pp. 190-198.
« On ne saurait jamais
exagérer l’importance de la découverte indienne du zéro.
Constituant en quelque sorte un prolongement naturel de la notion de
vacuité, celle-ci n’a pas seulement permis de combler le vide des
positions manquantes dans l’écriture positionnelle des nombres.
Elle n’a pas non plus livré simplement un vocable, un graphisme
ou un symbole. Elle a donné aussi et surtout naissance à un
concept compris à la fois comme élément numéral et numérique,
et comme opérateur arithmétique et nombre à part entière, le
tout au point de concours de tous les nombres, entiers ou non,
fractionnaires ou irrationnels, positifs ou négatifs, algébriques
ou transcendants. En cela, la découverte indienne a donc été
capitale, puisqu’elle a ainsi conféré à l’esprit humain un
potentiel d’une puissance tout à fait extraordinaire. Assurément,
aucune création humaine n’aura, comme celle-là, exercé une
telle influence sur le développement de l’intelligence… »
(pp. 197-198)
7
Citons la formule célèbre du Soutra du Cœur de
la Perfection de Sagesse :
« La
forme est vide, le vide est forme.
La
forme n’est autre que le vide, le vide n’est autre que la
forme. »
8
Emmanuel KANT, op. cit., [B VIII-IX], p. 41.
9
Emmanuel Kant, idem.
 |
| Olivia Fraser, Lotus Bleu, 2010. |
Voir tous les articles et les essais du "Reflet de la lune" autour de la philosophie bouddhique ici.
Voir toutes les citations du "Reflet de la Lune" ici.
 |
| Le logicien bouddhiste Dignāga |
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